Solución bidimensional sin malla de la ecuación no lineal de convección-difusión-reacción mediante el método de Interpolación Local Hermítica

A meshless numerical scheme is developed for solving a generic version of the non-linear convection-diffusion-reaction equation in two-dimensional domains. The Local Hermitian Interpolation (LHI) method is employed for the spatial discretization and several strategies are implemented for the solution of the resulting non-linear equation system, among them the Picard iteration, the Newton Raphson method and a truncated version of the Homotopy Analysis Method (HAM). The LHI method is a local collocation strategy in which Radial Basis Functions (RBFs) are employed to build the interpolation function. Unlike the original Kansa’s Method, the LHI is applied locally and the boundary and governing equation differential operators are used to obtain the interpolation function, giving a symmetric and non-singular collocation matrix. Analytical and Numerical Jacobian matrices are tested for the Newton-Raphson method and the derivatives of the governing equation with respect to the homotopy parameter are obtained analytically. The numerical scheme is verified by comparing the obtained results to the one-dimensional Burgers’ and two-dimensional Richards’ analytical solutions. The same results are obtained for all the non-linear solvers tested, but better convergence rates are attained with the Newton Raphson method in a double iteration scheme.Se desarrolla un esquema numérico sin malla para resolver una versión genérica de la ecuación no lineal de convección-difusión-reacción en dominios bidimensionales. El método de Interpolación Hermitiana Local (LHI) se emplea para la discretización espacial y se implementan varias estrategias para la solución del sistema de ecuaciones no lineal resultante, entre ellas la iteración Picard, el método Newton Raphson y una versión truncada del Método de Análisis de Homotopía. (JAMÓN). El método LHI es una estrategia de colocación local en la que se utilizan funciones de base radial (RBF) para construir la función de interpolación. A diferencia del método original de Kansa, el LHI se aplica localmente y los operadores diferenciales de ecuación límite y gobernante se utilizan para obtener la función de interpolación, dando una matriz de colocación simétrica y no singular. Las matrices analíticas y numéricas jacobianas se prueban para el método de Newton-Raphson y las derivadas de la ecuación de gobierno con respecto al parámetro de homotopía se obtienen analíticamente. El esquema numérico se verifica comparando los resultados obtenidos con las soluciones analíticas unidimensionales de Burgers y Richards bidimensionales. Se obtienen los mismos resultados para todos los solucionadores no lineales probados, pero se obtienen mejores tasas de convergencia con el método Newton Raphson en un esquema de doble iteración

Simulación de interacción fluido-estructura en la red vascular utilizando el método de elementos de frontera (bem)

The main objective of this work was to develop a three-dimensional model, which allows the study of fluid dynamic conditions in a blood vessel, considering pulsatile behavior, using numerical methods of integral formulation and interpolation functions. The methodology used was to connect to an existing boundary elements program in the research group, the input of the pulsating function that represents blood behaviour, as the equation to be solved is the Navier Stokes equation, the convective term was coupled using the radial basis functions method and for the temporary advance the Dual reciprocity method scheme was implemented. For the arterial wall, the stresses were calculated, the strain stress matrix was solved and finally the pressure ring scheme for each iteration was solved. In the results a geometry was developed in the GID software with a ratio of length to diameter 4 to 1, a Reynolds number of 1061 was used and as boundary conditions, a pulsating speed condition was introduced at the entrance and a traction condition was applied in the output. The results showed the development of the parabolic profile and the wall displacements that obey the reported in literature (10%). The main conclusion is that the use of the combined methods, boundary elements and pressure rings, serve to simulate the interaction between the two different media, respecting the homeostasis of the original biological system. In addition, a Reynolds number of 1061 was achieved..O principal objetivo deste trabalho foi desenvolver um modelo tridimensional, que permita o estudo de condições dinâmicas de fluidos em um vaso sanguíneo, considerando o comportamento pulsátil, utilizando métodos numéricos de formulação integral e funções de interpolação. A metodologia utilizada foi conectar-se a um programa de elementos de fronteira existente no grupo de pesquisa, a entrada da função pulsante que representa o comportamento do sangue, como a equação a ser resolvida é a equação de Navier Stokes, o termo convectivo foi acoplado usando as funções de base radial para o avanço temporário, foi implementado o esquema do método de reciprocidade dupla. Para a parede arterial, as tensões foram calculadas, a matriz de tensão de tensão foi resolvida e, finalmente, o esquema de anéis de pressão para cada iteração foi resolvido. Nos resultados, uma geometria foi desenvolvida no software GID com uma razão entre comprimento e diâmetro de 4 para 1, foi usado um número de Reynolds de 1061 e, como condições de contorno, uma condição de velocidade de pulsação foi introduzida na entrada e uma condição de tração foi aplicada em a saída. Os resultados mostraram o desenvolvimento do perfil parabólico e os deslocamentos da parede que obedecem aos relatados na literatura (10%). A principal conclusão é que o uso dos métodos combinados, elementos de contorno e anéis de pressão, serve para simular a interação entre os dois meios diferentes, respeitando a homeostase do sistema biológico original. Além disso, foi alcançado um número de 1061 de Reynolds.El principal objetivo de este trabajo fue desarrollar un modelo tridimensional, que permita el estudio de condiciones fluidodinámicas en un vaso sanguíneo, considerando el comportamiento pulsátil, mediante métodos numéricos de formulación integral y funciones de interpolación. La metodología utilizada fue acoplar a un programa de elementos de frontera existente en el grupo de investigación, la entrada de la función pulsante que representa el comportamiento sanguíneo, como la ecuación a solucionar es la ecuación de Navier Stokes, se realizó el acople del término convectivo utilizando el método de funciones de base radial y para el avance temporal se implementó el esquema de Dual reciprocity method. Para la pared arterial, se calcularon los esfuerzos, se solucionó la matriz de esfuerzo deformación y finalmente se soluciona el esquema de anillos de presión para cada iteración. En los resultados se desarrolló una geometría en el software GID con una relación de longitud a diámetro 4 a 1, se utilizó un número de Reynolds de 1061 y como condiciones de frontera se pusieron una condición de velocidad pulsante a la entrada y una condición de tracción a la salida. Los resultados mostraron el desarrollo del perfil parabólico y los desplazamientos de pared que obedecen a los reportados en literatura (10 %). La principal conclusión es que el uso de los métodos combinados, elementos de frontera y anillos de presión, sirven para simular la interacción entre los dos medios, respetando la homeóstasis del sistema biológico original. Además, se logró alcanzar un número de Reynolds de 1061.

Two-Dimensional Meshless Solution of the Non-Linear Convection-Diffusion-Reaction Equation by the Local Hermitian Interpolation Method

A meshless numerical scheme is developed for solving a generic version of the non-linear convection-diffusion-reaction equation in two-dimensional domains. The Local Hermitian Interpolation (LHI) method is employed for the spatial discretization and several strategies are implemented for the solution of the resulting non-linear equation system, among them the Picard iteration, the Newton Raphson method and a truncated version of the Homotopy Analysis Method (HAM). The LHI method is a local collocation strategy in which Radial Basis Functions (RBFs) are employed to build the interpolation function. Unlike the original Kansa´s Method, the LHI is applied locally and the boundary and governing equation differential operators are used to obtain the interpolation function, giving a symmetric and non-singular collocation matrix. Analytical and Numerical Jacobian matrices are tested for the Newton-Raphson method and the derivatives of the governing equation with respect to the homotopy parameter are obtained analytically. The numerical scheme is verified by comparing the obtained results to the one-dimensional Burgers´ and two-dimensional Richards´ analytical solutions. The same results are obtained for all the non-linear solvers tested, but better convergence rates are attained with the Newton Raphson method in a double iteration scheme.Un método sin malla es desarrollado para solucionar una versión genérica de la ecuación no lineal de convección-difusión-reacción en dominios bidimensionales. El método de Interpolación Local Hermítica (LHI) es empleado para la discretización espacial, y diferentes estrategias son implementadas para solucionar el sistema de ecuaciones no lineales resultante, entre estas iteración de Picard, método de Newton-Raphson y el Método de Homotopía truncado (HAM). En el método LHI las Funciones de Base Radial (RBFs) son empleadas para construir una función de interpolación. A diferencia del Método de Kansa, el LHI es aplicado localmente y los operadores diferenciales de las condiciones de frontera y la ecuación gobernante son utilizados para construir la función de interpolación, obteniéndose una matriz de colocación simétrica. El método de Newton-Rapshon se implementa con matriz Jacobiana analítica y numérica, y las derivadas de la ecuación gobernante con respecto al paramétro de homotopía son obtenidas analíticamente. El esquema numérico es verificado mediante la comparación de resultados con las soluciones analíticas de las ecuaciones de Burgers en una dimensión y Richards en dos dimensiones. Similares resultados son obtenidos para todos los solucionadores que se probaron, pero mejores ratas de convergencia son logradas con el método de Newton-Raphson en doble iteración

Numerical Methods Coupled with Richardson Extrapolation for Computation of Transient Power Systems

The numerical solution of transient stability problems is a key element for electrical power system operation. The classical model for multi-machine systems is defined as a set of non-linear differential equations for the rotor speed and the generator angle for each electrical machine, this mathematical model is usually known as the swing equations. This paper presents how to use direct Richardson extrapolation of several orders for the numerical solution of the swing equations and compares it with other commonly used implicit and explicit solvers such as Runge-Kutta, trapezoidal, Shampine and Radau methods. A numerical study on a simple three machine system is used to illustrate the performance and implementation of algebraic Richardson extrapolation coupled to several solution methods. Normally, the order of accuracy of any numerical solution can be increased when Richardson Extrapolation is used. A numerical example is provided for an electrical grid consisting of three machines and nine buses undergoing a disturbance. It is shown that in this case Richardson extrapolation effectively increases the order of accuracy of the explicit methods making them competitive with the implicit methods. La solución numérica de problemas de estabilidad transitoria es un elemento clave para la operacion de sistemas eléctricos. El modelo clásico para sistemas multi-máquina se define como un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales para la velocidad del rotor y el ángulo del generador paracada máquina eléctrica, este modelo matemático se conoce generalmente como las ecuaciones de oscilación. Este artículo presenta la forma de utilizar la extrapolación directa de Richardson de varios órdenes para lasolución numérica de las ecuaciones de oscilación y la compara con otros métodos implícitos y explícitos de uso común como los métodos Runge-Kutta, Trapezoidal, Shampine y Radau. Se presenta un estudio numérico sobre un sistema simple de tres máquinas para ilustrar el desempeño y la implementación algebráica de la extrapolación de Richardson. El orden de exactitud de cualquier solución numérica puede aumentarse cuando se utiliza la extrapolación de Richardson. Se proporciona un ejemplo numérico para una red eléctrica que consta de tres máquinas y nueve buses que sufren una perturbación. Se demuestra que en este caso la extrapolación de Richardson aumenta efectivamente el orden de exactitud de los métodos explícitos haciéndolos competitivos con los métodos implícitos.

Numerical Methods Coupled with Richardson Extrapolation for Computation of Transient Power Systems

The numerical solution of transient stability problems is a key element for electrical power system operation. The classical model for multi-machine systems is defined as a set of non-linear differential equations for the rotor speed and the generator angle for each electrical machine, this mathematical model is usually known as the swing equations. This paper presents how to use direct Richardson extrapolation of several orders for the numerical solution of the swing equations and compares it with other commonly used implicit and explicit solvers such as Runge-Kutta, trapezoidal, Shampine and Radau methods. A numerical study on a simple three machine system is used to illustrate the performance and implementation of algebraic Richardson extrapolation coupled to several solution methods. Normally, the order of accuracy of any numerical solution can be increased when Richardson Extrapolation is used. A numerical example is provided for an electrical grid consisting of three machines and nine buses undergoing a disturbance. It is shown that in this case Richardson extrapolation effectively increases the order of accuracy of the explicit methods making them competitive with the implicit methods. La solución numérica de problemas de estabilidad transitoria es un elemento clave para la operacion de sistemas eléctricos. El modelo clásico para sistemas multi-máquina se define como un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales para la velocidad del rotor y el ángulo del generador paracada máquina eléctrica, este modelo matemático se conoce generalmente como las ecuaciones de oscilación. Este artículo presenta la forma de utilizar la extrapolación directa de Richardson de varios órdenes para lasolución numérica de las ecuaciones de oscilación y la compara con otros métodos implícitos y explícitos de uso común como los métodos Runge-Kutta, Trapezoidal, Shampine y Radau. Se presenta un estudio numérico sobre un sistema simple de tres máquinas para ilustrar el desempeño y la implementación algebráica de la extrapolación de Richardson. El orden de exactitud de cualquier solución numérica puede aumentarse cuando se utiliza la extrapolación de Richardson. Se proporciona un ejemplo numérico para una red eléctrica que consta de tres máquinas y nueve buses que sufren una perturbación. Se demuestra que en este caso la extrapolación de Richardson aumenta efectivamente el orden de exactitud de los métodos explícitos haciéndolos competitivos con los métodos implícitos.